ALGEBRA
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia: L = 2
r, donde r es el radio de la
circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Dos números consecutivos: x y x + 1.
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
Valor numérico de una expresión algebraica
Tipos de expresiones algebraicas
Monomio:
Un monomio: es una expresión algebraica formada por un solo término.
Binomio
Un binomio: es una expresión algebraica formada por dos términos.
Trinomio
Un trinomio: es una expresión algebraica formada por tres términos.
Polinomio
Un polinomio: es una expresión algebraica formada por más de un término.
- Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto.
El grado relativo de un monomio es el exponente que afecta a cada variable. La parte numérica no tiene ninguna importancia.
Ejemplos: (4a3 b2)
- GR(a) = 3 : El Grado Relativo con respecto a la letra "a" es 3.
- GR(b) = 2 : El Grado Relativo con respecto a la letra "b" es 2.ç
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El grado absoluto de un monomio, simplemente es la suma de los exponentes de todas y cada una de las
letras.
Ejemplos: 1.- (4a3 b2) ; 2.- (x5 y3 z)
- El GA = 3 + 2 : El grado absoluto de este monomio es 5.
- El GA = 5 + 3 + 1 : El grado absoluto de este monomio es 9.
En un polinomio, como sabemos se encuentran más de una variable, entonces si hay dos variables (binomio), habrán dos grados relativos; si hay tres variables (trinomio), habrán tres grados relativos y así susecivamente. En un polinomio, los grados relativos son los exponentes más elevados que se encuantran en las variables.
Ejemplos: (4a3 3b2 + 5a5 5b1)
- GR (a) = 5 : El Grado Relativo, con respecto a la letra "a" es 5.
- GR (b) = 2 : El Grado Relativo, con respecto a la letra "b" es 2.
.
Para obtener el grado absoluto de un polinomio, se siguen algunos pasos. Primero trabajo independientemente cada término y sumo los exponentes; luego
con el siguiente término y así sucesivamente. Finalmente me quedaré como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor.
Ejemplos: (4a3 3b2 + 5a5 5b1)
- GA (1º term.) = 3 + 2 : El gardo absoluto de este término es 5.
- GA (2º term.) = 5 + 1 : El grado absoluto de este término es 6.
-
GA (polinomio) : El grado absoluto más elevado: 6.
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- Polinomios especiales.
Polinomio completo: Podemos decir que un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo.
Ejemplos:
- 6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5
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4z6 + 7z3 - 2z5 – 6z2 + 3z – 8z4
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Polinomios Ordenados: Se le puede llamar polinomios ordenados cuando los exponentes van en orden. Se les llama polinomios ordenados ascendentes cuando los exponentes van subiendo y polinomios ordenados descendentes cuando los
exponentes van bajando.
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Ejemplos:
- P.O.A. = 5a2 +3a3 -a5 +a8
- P.O.D. = 5x6 +3x5 -2x2 +x1
Polinomios homogéneos: Se les puede llamar polinomios homogéneos a los que el resultado de la suma de los exponentes de cada término es el mismo.
Ejemplos: (3a2b + 5ab2 -3abc)
- Primer término: 3a2b1, sumados los exponentes 2 +1 =3
- Segundo término: +5a1b2, sumados los exponentes 1 +2 = 3
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Tercer término: -9a1b1c1, sumados los exponentes 1 +1 +1 = 3
En el siguiente enlace encontrarás las clases de polinomios y como ordenarlos: http://algebrabaldor.webcindario.com/id31.htm
En los enlaces siguientes encontrarás la reducción de términos semejantes:
http://algebrabaldor.webcindario.com/id32.htm
http://algebrabaldor.webcindario.com/id429.htm
http://algebrabaldor.webcindario.com/id34.htm
http://algebrabaldor.webcindario.com/id35.htm
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Operaciones con polinomios.
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Adición: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes. La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
Para sumar P(x) = 3x4 –5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así:
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Sustracción: Para llevar a a cabo la sustracción entre dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir, se cambia el signo a todos los términos del
segundo polinomioy se suman los resultados.
Multiplicación: Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base")
Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.
En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.
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Productos natables. Casos. Identidades de Legendre: Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. La Identidades de Legendre son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
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( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab |